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[예제 1] 등가 변환을 하여 아래전기회로중의 전류 I를 구하여라.

[풀이] 

(1) 전류원과 저항의 직렬 회로를 변환하여 등가 전류원으로, 전압원과 저항의 병렬 연결을 변환하여 등가 전압원으로, 전압원과 저항의 직렬 연결된 지로를 변환하여 등가전류원과 저항의 병렬 연결로 만든다.

(2) 병렬 연결된 전류원을 등가변환하여 하나의 전류원으로 만든다, 그 원전류는 두개의 병렬연결된 전류원의 원전류의 총 합과 같다.

(3) 전류원과 저항의 병렬연결된 전기회로를 전압원과 저항의 직렬연결된 지로로 변환한다.

(4) 두 직렬연결된 전압원을 하나의 전압원으로 등가변환하여 가장 간단한 등가회로를 만든다.

(5) 가장 간단한 형태의 등가회로에서 전류를 계산한다.

불란서어의 미래시제(Le Temps du Future en Français)

불란서어의 미래시제는 세 가지가 있다.

단순미래(Futur Simple)

전미래(Futur Antérieur)

근접미래(Futur Proche)

단순미래(Futur Simple): [동사의 미래형]

단순미래 시제는 말 그대로 미래에 벌어질 사건, 행위를 표현한다.

단순미래 시제를 만드는 방식은 다음과 같다.

1. 규칙형

-er로 끝나는 동사: -er + 미래형 어미

-ir로 끝나는 동사: -ir + 미래형 어미

-re로 끝나는 동사: -r + 미래형 어미

2. 불규칙형

불규칙 동사는 외워줘야 한다.

être – serai, seras, sera, serons, serez, seront

avoir – aurai, auras, aura, aurons, aurez, auront

faire – ferai, feras, fera, ferons, ferez, feront

aller – irai, iras, ira, irons, irez, iront

venir – viendrai, viendras, viendra, viendrons, viendrez, viendront

pouvoir – pourrai, pourras, pourra, pourrons, pourrez, pourront

voir – verrai, verras, verra, verrons, verrez, verront

devoir – devrai, devras, devra, devrons, devrez, devront

savoir – saurai, sauras, saura, saurons, saurez, sauront

vouloir – voudrai, voudras, voudra, voudrons, voudrez, voudront

전미래(Futur Antérieur): [조동사 단순미래형 + p.p]

전미래는 a) 언급되는 미래보다 근소하게 앞서는 미래,

b) 미래의 어떤 시점에 이미 행해지고 있는 사건,

c) 미래의 어떤 시점에 미리 끝나 있는 행위/사건

d) 과거의 사건에 대한 추측을 표현한다.

전미래는 [조동사 단순미래형 + p.p] 꼴이다.

Dès que je serai arrivé, je vous téléphonerai.

내가 도착하자마자 너한테 전화할게.

도착하다: 전미래/전화하다: 단순미래

도착한 사건이 전화를 건 사건보다 근소하게 앞서 있다.

Vous *serez traité comme vous aurez traité autrui.

당신은 당신이 다른 사람들에게 했던 것과 똑같은 취급을 당할 것입니다.

다른 사람들을 취급하다: 전미래

/다른 사람들에게 취급을 당하는 것: 단순미래

Vous가 다른 사람들을 대한 것이 먼저이고,

그가 똑같은 취급을 당하는 것이 그 다음이다.

*전미래가 아니라 수동태의 단순미래형임.

J’aurai laissé mes lunettes en haut. Courez vite me les chercher.

내 안경을 위층에 놓고 왔나 봐. 빨리 가서 찾아줘.

놓고 오다: 전미래의 과거적 용법놓고 온 과거의 사건을 짐작하기 위해 전미래가 쓰임.

불란서어의 과거시제(Les Temps du Passé en Français)

불란서어는 전통적으로 과거를 크게 6가지로 분류한다.

복합과거(Passé composé), 반과거(Imparfait), 대과거(Plus-que-parfait)

단순과거(Passé simple) 전과거(Passé antérieur) 근접과거(Passé récent)

복합과거(Passé Composé) : [avoir/être 동사 + p.p]

복합과거는 a) 이전에 종결된 단발성 동작, b) 현재의 일과 관련이 있는 과거의 동작,

c) 과거부터 여러 번 반복돼 온 동작, d) 가까운 미래에 일어날 일을 확실성, 신속성을 강조하기 위해 사용한다.

복합과거는 [avoir/être 동사 + p.p] 꼴이다. 대부분의 동사는 avoir를 이용하여 만든다.

주로 이동동작과 관련된 동사들이 être와 결합한다. être와 결합하는 경우 주어와 성/수 일치를 해주어야 한다.

<être와 결합하는 동사들>

“왕래출입등하발착생사”

- aller, venir, sortir, entrer, monter, descendre, partir, arriver,

naître, mourrir, devenir, rester, passer, rentrer ...

<avoir 꼴의 경우 (성수일치 안 함)>

Il m’a dit. 그는 내게 말했다.

Elle m’a dit. 그녀는 내게 말했다.

Ils m’ont dit. 그들은 내게 말했다.

Elles m’ont dit. 그녀들은 내게 말했다.

<être 꼴의 경우 (성수일치 함)>

Il est sorti. 그는 나갔다.

Elle est sortie. 그녀는 나갔다.

Ils sont sortis. 그들은 나갔다.

Elles sont sorties. 그녀들은 나갔다.

#주의1. passer 동사

passer동사는 avoir와 être가 둘 다 붙을 수 있다.

자동사로 사용된 경우 être를, 타동사로 사용된 경우 avoir를 사용한다.

그러므로 당연히 성수일치를 하기도 하고, 안 하기도 한다.

Elle est passée à la banque retirer de l’argent. 그녀는 돈을 인출하려고 은행에 들렀다.

Beaucoup de réfugiés ont passé la frontière. 많은 난민들이 국경을 넘었다.

#주의2. 과거분사의 성수일치

avoir 동사만을 쓰더라도, 성수일치를 해야 할 때가 있다.

복합과거 활용을 하는 타동사가 직접목적어를 가질 경우,

그 목적어의 성수에 맞게 과거분사의 성수를 일치시켜야 한다.

Je les ai rencontrées avant-hier dans un parc. 나는 공원에서 그녀들과 마주쳤다.

Je les ai rencontrés avant-hier dans un parc. 나는 공원에서 그들과 마주쳤다.

Ces machines, comment les as-tu inventées? 이 기계들은 어떻게 발명한 거지?

Quelle chemise as-tu achetée? 어떤 셔츠를 샀니?

Tous les logiciels que j’ai installés sont gratuits. 내가 산 모든 소프트웨어는 공짜이다.

#주의3. 대명동사의 반과거

대명동사는 원형을 불문하고 être형을 쓴다.

이때 의미상 재귀대명사가 직접목적어면 성수일치를 하고, 아니면 성수일치를 하지 않는다.

Elle s’est lavée. 그녀는 씻는다.

Nous nous sommes lavé(e)s. 우리는 씻는다.

Ils se sont lavés. 그들은 씻는다.

Elles se sont lavées. 그녀들은 씻는다.

Hélène s’est lavé les mains. 엘렌은 손을 씻는다. (의미상 직접목적어는 les mains)

Nous nous sommes lavé les cheveux.우리는 머리를 감는다. (의미상 직접목적어는 les cheveux)

반과거(Imparfait): [직설법 현재 1인칭 복수 어간 + 반과거 어미]

반과거는 a) 특정 시간대의 묘사, b) 과거에 일정 기간 지속된 동작,

c) 과거에 계속 반복한 동작, d) 과거 시점에서의 현재를 나타낸다.

반과거는 [직설법 현재 1인칭 복수 어간 + 반과거 어미]의 꼴이다.

반과거 어미는 외워줘야 한다.  또한, être 동사는 불규칙 반과거 형태를 지닌다.

<반과거 어미>

-ais, -ais, -ait, aions, aiez, aient

<일반동사의 반과거 활용>

aimer – aimais, aimais, aimait, aimions, aimiez, aimaient

finir – finissais, finissais, finissait, finissions, finissiez, finissaient

attendre – attendais, attendais, attendait, attendions, attendiez, attenaient

faire – faisais, faisais, faisait, faisions, faisiez, faisaient

<être동사의 반과거 활용>

étais, étais, était, étions, étiez, étaient

대과거(Plus-que-parfait):[조동사의 반과거 + p.p]

대과거는 이미 서술된 시점(반과거 혹은 복합과거)보다 이전의 시점을 표현한다.

대과거는 복합과거의 반과거꼴, 즉 [조동사의 반과거 + p.p]꼴이다.

조동사는 être와 avoir가 쓰이며 종류는 복합과거와 일치한다.

L’orage avait cessé quand a sonné l’heure du départ.

출발 시간이 울릴 때 태풍이 멈췄다.

태풍이 멈추다: 대과거 /출발시간이 울리다: 복합과거

태풍이 멈춘 사건이 출발 시간이 울린 사건보다 근소하게 앞서 있음을 의미함.

Dindin avait acheté du café tous les jours. Dindin était fatigué.

Alors il a décidé de ne pas acheter de repas à M. Jéyung.

댕댕은 매일 커피를 샀다.

그는 지쳤다. 그래서 그는 줴융 씨에게 밥을 사주지 않기로 결심했다.

커피를 사다: 대과거/결심하다: 복합과거

커피를 사온 행동이 밥을 사주지 않기로 결심한 사건보다 앞서 진행돼 왔음을 의미함.

*지쳤다: 반과거

**상태의 묘사는 반과거를 사용함.

불란서어 동사의 과거분사(Participe Passé)

불란서어 과거분사는 크게 3부류이다.

a) 1형동사

b) 2형동사

c) 불규칙

1형 동사는 어미 –er를 -é로 대체한다. ex) aimer – aimé

2형 동사는 어미 –ir를 –i로 대체한다. ex) partir – parti

불규칙 동사는 하나하나 외워야 한다.

assis – asseoir

attendu – attendre

bu – boire

connu – connaître

cru – croire

descendu – descendre

devenu – devenir

dit – dire

dû - devoir

écrit - écrire

entendu - entendre

été- être

eu – avoir

fait – faire

lu – lire

mis – mettre

mort – mourrir

né - naître

offert – offrir

perdu - perdre

plu – plaire

pris – prendre

produit – produire

pu – pouvoir

reçu – recevoir

rejoint - rejoindre

souffert – souffrir

su – savoir

survécu – survivre

vendu - vendre

venu – venir

voulu – vouloir

vu – voir

과거분사는 다음과 같은 시제에서 쓰인다.

직설법 복합과거, 직설법 대과거, 직설법 전미래

또한 수동태에서도 쓰인다.

  위 그림(a), (b)는 두 종류의 독립전원을 포함하는 전형적인 단일포트 전기회로이다. 포트전압, 포트전류는 비관련 참고방향의 조건 아래서 그의 전압과 전류의 관계는 각각 다음과 같다

  전기회로의 매개변수가 일정한 조건을 만족할때, 전압원과 저항이 직렬연결된 지로와 전류원과 저항이 병렬연결된 지로는 서로 등가변환이 가능하다. 등가조건은 식(2)를 변형하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

  식(1)과 식(3)을 비교하여 두 회로의 등가변환 조건을 얻을 수 있다.

  실제 안정된 전압원이 작동할때, 포트 전류의 변화에 따라 그 포트의 전압에도 약간의 변화가 있다. 전압원과 저항이 직렬연결된 지로는 보통 이런 안정된 전압원의 전기회로 모형에 쓰이고 여기서 U_s는 전원이 부하 없이(내보내는 전류가 0) 작동할때 내보내는 전압을 표시하며, 전압R_iI는 부하 전류에 의한 출력 전압의 하강을 나타낸다. 이런 의미에서 보면 R_i또한 전원의 등가 내부 저항이라고 부른다.

  실제 안정된 전류원이 작동할때, 포트전압의 변화에 따라 그 포트 전류에도 약간의 변화가 있다. 전류원과 저항의 병렬연결은 이러한 안정전원의 모형에 자주 사용된다. 여기서 I_s는 안정전원이 부하 없이(내보내는 전압이0 즉 단락회로)작동 할때 내보내는 전류를 말하며, G_iU는 부하 전압에 의한 출력되는 전류의 저하를 나타내고 G_i를 내부 전도율 이라고 한다. 전압원과 저항의 직렬연결과 전류원과 저항의 병렬연결이 서로 등가임에 따라서 실제 전원은 이러한 같은 두 종류의 회로모형을 모두 사용한다. 

  앞에서 전압원의 내부 저항 R_i=0 이고 전류원의 내부 전도율 G_i=0 즉 내부 저항은 무한대와 같다는 이상전원에대해 소개했다. 0은 역수를 가질 수 없으므로, 이상 전압원과 이상전류원은 서로 등가변환이 불가한 상호 독립적인 두 종류의 전원 모형이다.

  위에서 전압원과 저항의 직렬연결, 전류원과 저항의 병령연결의 등가회로에 대해 다루었는데 자연적으로 전압원과 저항이 병렬연결된 전기회로와 전류원과 저항이 직렬연결된 전기회로에 대해 생각해 볼 수있다.

  그림 2의 (a)는 전압원Us와 저항 R을 병령연결한 한 단구의 전기회로로 그 포트 전압 U=Us이며 전류 I는 불확정하여 외부 전로에 따라 결정된다, 이는 전압원의 포트 특성으로 이 포트가 외부에 하는 작용은 전압원 Us로 등가하여 대체하여 그림 2의 (b)와 같이 쓸 수 있다.
  같은 방식으로 알 수 있듯이 그림3의 (a)는 전류원 Is와 저항 R을 직렬 연결 한 포트로, 이 포트가 외부에 하는 작용은 전류원 Is로 등가하여 그림 3의 (b)와 같이 쓸 수 있다. 이때, 그림 2의 (a)와(b)에서 전압원이 출력하는 전류와 일률은 같지 않다, 이는 "등가"는 오직 외부 (변환 되는 부분을 포함하지 않는)전기회로에 대해서 라고 말 할 수있다. 그림 3의 (a)와 (b)또한 같은 상황이다.

  전원의 연결 관계에는 이 외에도 여러 형식이 있다, 예로 두개의 전압원의 직렬연결, 두개의 전류원의 병렬연결, 전압원과 전류원의 직렬 혹은 병렬연결, 두개의 같은 접압원의 병렬 연결, 두개의 같은 전류원의 직렬 연결 등이 있다. 전압원과 전류원의 특성에 따라서 상술된 연결 관계의 등가 전로를 어렵지 않게 구할 수 있다. 

  종속전압원과 저항의 직렬연결 과 종속 전류원과 저항의 병렬연결 또한 아래 그림과 같이 등가변환이 가능하다. 그중 변환 방법은 독립전원을 포함하고 있는 상황과 같다. 단 변환 과정 중에서 반드시 제어량의 위치가 변하지 않음을 주의해야 한다.

[예제 1] 아래 그림에서 등가저항 Ri를 구하여라.

[풀이] 우선 노드①,②,③사이의 대칭 Δ형 연결된 저항을 등가변환 하여 아래 그림과 같이 Y형 연결로 바꾼다.

위 식에 따라서 Y형 연결된 저항은 2Ω인것을 구하고 직렬 병렬 관계에 따른 등가저항을 구하면 다음과 같다

  본 예제에는 다른 Y형 혹은 Δ형 연결이 존재한다, 그에대한 변환을 하여 같은식으로 등가저항을 얻을수 있다, 그러나 변환의 쉽고 어려운 정도는 각각 다르기에 직접 분석하여 간단한 방법을 찾아보도록 하자.

  어느 저항과 서로 연결되어 구성된 전기회로를 저항망로(resistive network)라고 한다, 본 글에서는 저항망로의 등가저항을 구하는 방법에 대해 다루도록한다.

  등가는 간단화된 망로와 등가망로의 대응되는 포트 특성이 같다는것을 가르킨다. 즉, 포트의 u-i 관계가 같음을 말한다. 등가는 간단화하고 회로의 해를 구하는 자주 사용되는 방법이다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 저항 Req와 망로N1이 등가일때, Req로 저항망로N1을 대체하고 그외의 부분들(즉, 그림에서의 N2)의 전압과 전류는 바뀌지 않는다. 

  가장 간단한 형태의 저항 연결방식은 직렬연결(series connection)과 병렬연결(parallel connection)이 있다

1 저항의 직렬연결
  각 저항의 앞과 뒤가 차례대로 연결되고 연결점에 분기가 없으며, 키르히호프 전류법칙에 따라서 각 저항을 흐르는 전류가 같음을 알때 이 저항은 직렬연결이 됐다고 한다. 아래의 그림에서 두 저항이 직렬연결된 모습을 보여준다.

  이 등가저항을 구하기 위해서 KVL및 옴의법칙으로 아래의 방정식을 얻을 수 있다.

(1)

따라서 등가저항은

(2)

같은 방법으로, N개의 저항을 직렬연결 하였을때의 그 등가저항은 N개 저항의 합과 같다 즉,

(3)

  저항의 직렬연결은 분전압(voltage division)에 주로 쓰이는데 이를 분압기(voltage divider)라고 부른다. 이 중 각각의 직렬 연결된 저항들은 총 전압의 일부분만 받게된다. 각 저항상에 걸리는 전압을 구하기 위해서 우선 식(1)의 전류를 구하면 다음과 같다,

(4)

다시 옴의 법칙 및 식(4)에 따라서 다음과 같이 얻을 수 있다.

(5)

  식(5)은 두 저항을 직렬로 연결했을때의 분압 공식이다. 이 유도식에 따라서 N개의 저항을 직렬연결 했을때의 분압 공식을 얻을수 있다, 

(6)

  저항을 직렬연결을 할때 흐르는 전류는 동일하다, 따라서 두 저항이 소모하는 일은 각각 다음과 같다

(7)

식(5)와 식(7)로부터 직렬연결할때 각 저항 상에 전압과 일의 분배는 모두 저항과 비례를 이룬다는 것을 알 수 있다. 즉,

(8)

  몇몇 상황에서는 저항이 아래 그림과 같이 순서대로 연결되지 않았지만 저항 R1과 R2를 통과하는 전류가 같으면 등가저항으로 대체하려 표시할 수 있다. 이런식으로 변환된 후에 전기회로중의 각 부분의 전류 및 변환하지 않은 부분의 전압은 모두 변하지 않는다. 그러나 N1 부분을 참고점으로 하여 볼때 N2 부분의 노드전압은 바뀌며 그 반대의 상황도 마찬가지이다. 따라서 이러한 변환은 엄격하게 등가변환 이라고 할 수 없다.

2 저항의 병렬연결

  각 저항을 동일한 노드 사이에 연결되고 각 저항에 걸리는 전압이 같을때 이 저항이 병렬연결 되었다고 부른다. 아래 그림은 두 저항의 병렬연결된 모습을 보여준다.

  그림(a)에 대해, KCL과 옴의 법칙으로부터 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

(9)

따라서 두 병령 저항의 등가 인덕턴스는 다음과 같다

(10)

혹은 등가 저항이 다음과같다.

(11)

  동일한 방법으로 N개 저힝이 병렬 연결 됐을때의 등가 인덕턴스와 등가 저항을 구할수 있다.

(12)

(13)

  전기저항의 병렬연결은 분전류(current division)에 자주 쓰이고, 이때 병렬연결된 전기회로를 분전류기(current divider)라고 한다. 식(9)에 따라서 병렬연결의 회로전압을 알 수 있다.

(14)

또한 옴의 법칙에 의해서 두 저항이 나눈 전류는 각각 다음과 같다

(15)

이런 유도식으로 N개 저항을 병렬연결 했을때의 다음과 같은 분전류 공식을 얻을 수 있다.

(16)

  저항을 병렬연결하면 저항에 걸리는 전압은 모두 동일하다, 식(15)에 각각 전압 U를 곱하면 두 저항이 소모하는 일을 알 수 있다

  식(15)및 위 식에 따라서 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

(17)

이 식은 병렬연결을 할때 저항상의 전류와 일의 분배는 인덕턴스와 정비례함을 가르킨다.

3 저항의 성형과 삼각형 연결

  저항의 성형 연결, 간단히 Y형 연결 혹은 T형 연결이라 부른다, 아래 그림 (a) 와 (b)가 이를 가르킨다. 삼각형 연결은 간단히 Δ형 연결 혹은 Π형 연결이라 부른다, 아래서 그림 (c)와 (d)가 이를 가르킨다. 정해진 조건 아래서 Y형 연결과 Δ형 연결은 망로 등가 간단화를 통해 서로 등가변환이 가능하다.

예로 R2, R4, R5로 구성된 삼각형 연결을 성형 연결로 등가변환하는것은 아래 그림(a)이 보여준다, 혹은R1, R2, R5로 구성된 성형 연결을 삼각형 연결로 등가변환하는것은 아래 그림(c)가 보여주며, 직렬 연결 등가 규칙으로 등가저항을 계산할 수 있다.

  성형과 삼각형 연결된 망로는 아래의 그림처럼 3단 망로에 속한다. 세개의 단자 사이에는 전압과 세개의 단자의 전류이 있다. KCL과 KVL에 따라서 두 종류의 연결 방식에 관계없이 내부구조가 어떠하든 반드시과 임이 성립한다. 따라서, 삼단망로가 외부에 하는 작용은 두 단자간의 전압(예로 u12와 u23)과 두개의 단자전류(예로i1과 i2)의 관계료 표시할 수 있다. 등가의 개념에 따라 알 수 있듯이 Y형과 Δ형 연결을 등가변환 할떄, Y형 연결과 Δ연결의 대응하는 포트는 반드시 동일한 포트 특성을 가져야한다, 이에 따라 등가조건을 유도해낼 수 있다.

그림 (a)로부터 알 수 있듯이, Y형 연결 전기회로의 포트특성 방정식은 다음과 같다

(18)

그림 (b)로부터 알 수 있듯이, Δ형 연결 전기회로에 대해, KVL과 KCL에 따라서 다음과 같은 식이 있다

(19)

(20)

식(20)를 식(19)에 대입하면 각각 아래와 같이 i12와 i1, i2및 i23과 i2, i3의 관계로 정리할 수 있다

(21)

이에 따라, 식(18)에 상응하는 Δ형 연결 전기회로의 포트 특성 방정식을 얻을 수 있다.

(22)

등가의 개념에 따라, 식(18)과 식(22)에 대응하는 계수는 반드시 같다. 이에 따라 Δ형연결에서 Y형 연결로의 등가변환 공식을 얻을 수 있다.

(23)

이를 다음과 같이 종합할 수 있다.

  유사하게 Y형 연결을 Δ형 연결로 바뀔때의 등가 조건또한 유도해낼수 있다, 혹은 식(23)을 직접 풀어서 Y형연결에서 Δ형 연결로의 등가 변환 공식을 얻을 수 있다.

(24)

이를 다음과 같이 종합할 수 있다.

  이를 보통 대칭(symmetrical)상황 이라고한다 즉, 세개의 같은 저항을 Y형 혹은 Δ형 으로 연결했을때 등가변환은

위와 같은 상황이라고 하면, 변환공식(24)에 따라서 다음을 얻을 수 있다.

(25)

반대되는 변환공식(23)에 따라 다음식 또한 얻을 수 있다.

(26)

여기까지 알아본것들은 대칭되는 Y형 연결의 등가 Δ형 연결 또한 대칭이라는 것이고 그 반대의 상황또한 그렇다는 것을 보여준다.

[예제 1] 회로가 다음 그림과 같을때, 이미 알고 있는 지로 전류로 나머지 지로 전류의 값을 구하여라.

[풀이] 회로도의 각 노드의 KCL방정식을 모두 쓴다.

이 문제에서는 전류의 값만 구하여 닫힌구역 S에 대한 KCL방정식을 쓰면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. 

[예제 2] 회로가 다음 그림과 같고 몇 부분의 지로 전압을 알 때, 그 외의 지로 전압을 구하여라.

[풀이] 회로중의 6V전압은 가상의 지로 전압으로 볼 수 있다, 해당 지로는 차단된 생태로 KVL방정식에서 가상지로를 포함하는 루프 즉, 가상루프 또한 사용 할 수있다. 아래에 각각 구해야 하는 전압을 포함하는 회로(가상루프 포함)에 대해 KVL방정식을 쓰고, 구해야 하는 전압을 등호 왼쪽에 쓴다.

  키르히호프법칙과 집중회로 부품의 성질은 무관하다. 키르히호프 전류법칙은 노드와 연결된 지로전류와의 법칙이며, 키르히호프 전압 법칙은 루프중의 보함되는 모든 지로전압의 법칙이다. 따라서 키르히호프 법칙은 회로구조법칙으로도 불리며 이는 전기회로의 방정식을 세우는데에 중요한 요소이다.

[예제 3] 회로가 다음과 같을때 두 종속전원이 각자 내보내는 일을 구하여라.

[풀이] 노드②에 대한 KCL방정식을 쓰면 다음을 얻을 수 있다

저항에 걸리는 전압은 

외부 메쉬의 KVL 방정식으로 종속전류원의 포트전압을 구하면

종속전류원과 종속전압원이 내보내는 일은 각각 다음과 같다

Horse의 어원에 이어 동아시아의 말馬의 어원에 대해 살펴본다.

馬 말 마. 

많은 한국인들이 간과하는 사실이지만 이 한자의 음과 뜻은 사실 같은 어휘를 한국식, 중국식으로 다르게 부르는 것이라고 추측해볼 수 있다. 보아라. 직관적으로도 /mal/과 /ma/는 동계어이다. 

물론, 두 언어가 가지는 문법적 지위나 사회언어학적 기능은 전혀 다르다. 말과 마는 각각 고유어, 한자어로서 한국어 내에서 기능하고 있다.

하지만 이 두 어휘가 서로 차용 관계라는 의심은 벗어버릴 수 없다.  

한국어에서, 말의 고형은 ᄆᆞᆯ이며 이는 제주 방언에도 남아있다. 

가장 오래된 용례는 15세기 용비어천가이며 이 표기는 19세기까지 유지되었다.

다음은 동북아시아 각 언어권들에서 말을 어떻게 부르는지 살펴본다.

한국어: ᄆᆞᆯ(중세 국어) > 말(현대)

일본어: うま(현대) むま(헤이안 시기 표기법)

오키나와어: うま/っんま/ぬうま

아이누어: ウンマ(umma)

중국어: mă(표준어), ma5(광둥어), bé/má(민난어), mâ(하카어), ma2/mo2(우어)

만주어: morin

몽골어: морь(морин)

모두 *M(R)계열의 음운을 공유하는 것을 볼 수 있다. 이들 언어들이 공유하는 기본어휘는 극히 드물다는 점에서 *M(R)은 차용어로 볼 수 있다.

PIE의 *markos도 떠오르는 매우 흥미로운 대목이다.

한편, Axel Schuessler의 『ABC Etymological dictionary of old Chinese』에서는 한장어족의 고대 어휘들을 다음과 같이 재구하고 있다.

mra

*mra? > mra, rmal, sral > mral > mra? > ma

역시나 위의 재구에서도 M(R)어두자음군은 지속적으로 등장한다.

물론, 현대에 남아있는 어휘들이 재구의 근거가 된다는 점을 감안했을 때, 순환논리일 수도 있겠다.

한편 고고학적으로 말의 수입 경로는 다음과 같이 유추되고 있다.

고대 중앙아시아 > 몽골 고원, 고대 중국 > 한반도 > 일본 열도

말과 승마술은 1200BC경 상商시대에 중국에 수입되었다.

즉, 상고한어의 *mra?와 몽골계열의 어휘가 분화된 지점을 유추할 수 있을 것이다.

끝.

  전기회로부품을 서로 연결하여 전기회로를 만들고, 전류와 전압을 생성하고 각종 기능들을 수행할 수 있다. 여기서 전압과 전류의 양값은 회로의 구조와 소자의 규격에 맞아야한다. 

  1847년 독일의 물리학자 키르히호프[Gustav Robert Kirchhogg(1825-1887)]이 회로 구조에서 전류와 전압의 관계에 대한 관계를 세웠는데 이를 키르히호프 전류 법칙과 키르히호프 전압 법칙으로 부르고 통칭 키르히호프 법칙이라고 한다. 키르히호프 법칙에 대해 다루고 응용하기 위해서 우선 회로구조에서 쓰이는 술어들을 먼저 다루어 보도록 하자.

1 회로구조

  전기회로 소자는 단자를 통해 서로 연결되고 특정한 구조를 가진 회로를 형성하게된다. 아래 그림은 한 예시. 회로의 구조는 지로, 노드, 루프, 메쉬 등의 술어를 사용하여 묘사한다.

 간편하게 볼 수 있기위해 본 블로그에서는 모든 두 단의 소자를 한 지로(branch)라고 부른다, 지로의 연결점을 노드(node) 라고 하고, 그 중 두 지로의 연결점을 간단한 노드라고 한다. 위 그림에는 총 7개의 지로와 5개의 노드가 있고 여기서 노드④가 바로 간단한 노드이다.

  노드 a와 노드 b사이에는 m개의 서로 다른 지로와 m-1개의 서로 다른 노드가 존재한다(a와 b는 포함안됨), 이를 차례차례 연결하여 하나의 통로를 만들면 이를 a에서 b까지의 경로(path)라고 하고 노드 a와 b를 각각 시작노드와 종단노드로 부른다. 경로는 지로의 집합 혹은 노드의 집합으로 표시할 수 있는데 위의 그림을 예로 들자면, 지로 집합{2,6} 혹은 노드집합{①,②,③}으로 시작노드①에서 종단노드③간의 경로를 표시할 수 있다. 보통 두개의 노드 사이에는 여러 지로가 존재한다, 예로 지로집합{3,4}혹은 노드집합{①,④,③}또한 노드①에서 노드③간의 경로를 표시한다.

  닫힌 경로를 루프(loop)라고 부른다. 위의 그림에서 보자면 지로집합{1,2,5}, {6,5,7}, {2,3,4,6}, {1,2,6,7}이 모두 루프의 예시이다. 루프는 시계방향과 반시계방향 두 방향이 있으며, 집합 중의 원소의 순서 혹은 화살표로서 루프의 방향을 표시한다.

  평면상에 전기회로를 그릴때 만약, 노드를 제외하고 지로가 모두 서로 교차하지 않을때의 회로를 평면회로(planar circuit)이라하고 아니라면 비평면회로(nonplanar circuit)라고 부른다.

  평면회로의 단루프(즉, 내부 혹은 외부에 지로를 포함하지 않는다)를 메쉬(mesh)라고 부르고, 이는 가장 간단한 루프이다. 내부에 어떠한 지로도 존재하지 않는 메쉬를 내부 메쉬라고 하고 외부에 어떠한 지로도 존재하지 않는것을 외부 메쉬라고 한다. 만약 특별한 설명이 없다면 메쉬는 내부 메쉬를 가르킨다. 위의 그림에서 볼 때 지로집합 {1,2,5}, {5,6,7}, {2,3,4,6}이 내부 메쉬를 가르키며 {1,3,4,7}이 외부메쉬를 가르킨다. 여기서 {1,2,6,7}은 내부에 지로5를 포함하고 있으므로 메쉬가 아니다.

  한 지로에서, 전류가 어떠한 유한값이던지 전압이 항상 0이면 이때 회로를 닫힌회로(short circuit)라고 하고, 동일하게 전압이 어떠한 유한값이던지 전류가 항상 0이면 이때의 회로를 열린회로 혹은 끊긴회로(open circuit)라고 부른다.

2 키르히호프 전류 법칙
  키르히호프 전류 법칙(Kirchhoff's Curret Law, 간단히 KCL)은 다음을 말한다: 임의의 시각에 파라미터 전기회로에서 임의의 노드의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류의 대수합은 0이다. 즉,

(1)

식(1)를 볼 때, 보통 ik의 참고방향이 노드로 흘러나오는 방향일때 ik의 앞에 "+" 부호를 붙여주고, 흘러들어가는 방향일때는 "-" 부호를 붙여준다.

  위 식을 노드의 KCL방정식 이라고 하고, 이는 임의의 노드와 연결된 모든 지로의 전류가 모두 만족하는 관계를 반영한다. 위의 그림을 예시로 하여 각 노드에서의 KCL방정식을 구하면 아래와 같다

  KCL방정식은 닫힌구역의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류에 대해서도 쓸 수 있다. 이는 임의의 시각에 파라미터 전기회로에서 임의의 닫힌구역 S의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류의 대수합은 0임을 나타낸다. 즉,

(2)

식(2)를 넓은 의미의 키르히호프 전류 법칙이라한다.

  위 법칙을 검증하기위해 예시로 쓴 그림의 노드②와 노드③의 KCL방정식을 서로 더하면 아래와 같다

위 식의 좌변의 곧 닫힌구역 S에 들어오고 나간 모든 전류의 대수합이다.

  위 노드②식에 대해서 노드에서 나가는 전류를 한변에 쓰고, 노드에 들어오는 전류를 다른 한 변에 쓰면 다음과 같다

이는 임의시각에 어느 한 노드(혹은 닫힌구역)에서 흘러나간 전류의 대수합은 그 노드에 흘러들어온 대수합과 같음을 의미한다. 즉,

(3)

  회로의 모든 노드와 모든 닫힌구역에 대해서 KCL방정식을 쓸 수 있다. 그러나 이 방정식들은 결코 독립된것이 아니다. 예로 위의 그림에서의 KCL방정식 중에서 노드①의 KCL식과 노드④의 KCL식을 더한것의 음수는 곧 노드⑤의 KCL식이다. 회로중 임의의 노드의 KCL방정식은 나머지 네개의 노드의 KCL식들의 합과 같다.

 임의의 닫힌구간의 KCL방정식은 닫힌구간 안에 있는 모든 노드의 KCL방정식의 대수합과 같다. 그러나 만약 임의의 한 노드의 KCL방정식을 생략하면 이때 나머진 4개 노드의 KCL방정식은 하나의 독립된 방정식들이 된다. 일반적인 상황으로 발하자면 n개의 노드가 포함된 회로중에 임의로 고른 n-1개 노드의 KCL방정식이 한 독립 방정식들이다이다, 이 노드들을 독립 노드라 한다. n-1개의 어느 독립 노드를 선택할지는 마음대로 해도 된다.

3 키르히호프 전압 법칙

  키르히호프 전압 법칙(Kirchhoff's  Voltage Law, 간단히 KVL)이 말하는 바는 다음과 같다: 파라미터 회로중에서 임의의 시각에 임의의 루프의 각 지로들의 전압의 대수합은 0이다. 즉,

(4)

통상적으로 식(4) 중의 uk의 참고방향이 루프의 방향과 동일하다고 규정할때, uk의 앞에 "+"부호를 붙여주고 만약 아니라면 "-"부호를 붙여준다.

  식(4)를 루프의 KVL방정식이라고 칭하는데, 이는 임의의 루프가 포함하고 있는 모든 지로의 전압이 필수로 만족해야하는 약속이다. 아래의 회로를 예로 키로히호프 전압 법칙을 쓰면 다음과 같다

회로 l3의 식을 다음과 같이 바꾸면

이러한 상황으로 볼 수 있듯이, 임의의 루프를 따르는 각 지로 전압감소의 대수합은 각 지로 전압증가의 대수합과 같다. 즉,

(5)

  다시 l1과 l3식을 다음과 같이 쓴다면

이는 파라미터 회로중에서 어느 두 점 간의 전압은 확정된 값을 값고 그의 계산은 경로와 무관하다는 것을 설명해준다.

  회로중의 모든 메쉬 혹은 루프에 대해서 KVL방정식을 쓸 수 있으나 KVL방정식은 독립된 식이 아니다. 예로, 위의 그림중에서 루프{①,②,③,⑤,①}의 KVL방정식은이다, 이 방정식은 실제로는 루프 l1과l2 의 KVL방정식을 더한 결과와 같다. 이때 루프{①,②,③,⑤,①}을 루프 l1과l2 에 대하여 비독립이라고 한다.

  임의 루프의 KVL방정식은 그 루프를 구성하는 각 메쉬의 KVL 방정식의 대수합과 같음으로 설명할 수 있다. 그러나 모든 메쉬의 KVL방정식은 나머지 메쉬의 KVL방정식의 대수합 혹은 그의 선형조합으로 표시할 수 없다. 평면회로 메쉬의 KVL방정식은 독립된 방정식들 이라는 것을 볼 수 있다. 회로에 b개의 지로, n개의 노드가 있다고 하면, 평면회로의 메쉬 수는 즉, 독립KVL방정식의 개수는 b-(n-1)과 같음을 증명 할 수 있다.

  당연히 메쉬의 KVL방정식을 구하는것은 독립 KVL방정식을 얻을 충분조건이며 필요조건이 아니다. 예로 루프l1부터 루프l3까지의 식은 독립된 KVL방정식 들이며, 이중에는 두개의 메쉬와 한개의 메쉬가 아니를 루프를 포함하고 있다. 그러나 어떠한 루프를 선택하던지 독립KVL방정식의 개수는 같아야한다.