'성리학원'에 해당되는 글 15건

[예제 1] 등가 변환을 하여 아래전기회로중의 전류 I를 구하여라.

[풀이] 

(1) 전류원과 저항의 직렬 회로를 변환하여 등가 전류원으로, 전압원과 저항의 병렬 연결을 변환하여 등가 전압원으로, 전압원과 저항의 직렬 연결된 지로를 변환하여 등가전류원과 저항의 병렬 연결로 만든다.

(2) 병렬 연결된 전류원을 등가변환하여 하나의 전류원으로 만든다, 그 원전류는 두개의 병렬연결된 전류원의 원전류의 총 합과 같다.

(3) 전류원과 저항의 병렬연결된 전기회로를 전압원과 저항의 직렬연결된 지로로 변환한다.

(4) 두 직렬연결된 전압원을 하나의 전압원으로 등가변환하여 가장 간단한 등가회로를 만든다.

(5) 가장 간단한 형태의 등가회로에서 전류를 계산한다.

  위 그림(a), (b)는 두 종류의 독립전원을 포함하는 전형적인 단일포트 전기회로이다. 포트전압, 포트전류는 비관련 참고방향의 조건 아래서 그의 전압과 전류의 관계는 각각 다음과 같다

  전기회로의 매개변수가 일정한 조건을 만족할때, 전압원과 저항이 직렬연결된 지로와 전류원과 저항이 병렬연결된 지로는 서로 등가변환이 가능하다. 등가조건은 식(2)를 변형하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

  식(1)과 식(3)을 비교하여 두 회로의 등가변환 조건을 얻을 수 있다.

  실제 안정된 전압원이 작동할때, 포트 전류의 변화에 따라 그 포트의 전압에도 약간의 변화가 있다. 전압원과 저항이 직렬연결된 지로는 보통 이런 안정된 전압원의 전기회로 모형에 쓰이고 여기서 U_s는 전원이 부하 없이(내보내는 전류가 0) 작동할때 내보내는 전압을 표시하며, 전압R_iI는 부하 전류에 의한 출력 전압의 하강을 나타낸다. 이런 의미에서 보면 R_i또한 전원의 등가 내부 저항이라고 부른다.

  실제 안정된 전류원이 작동할때, 포트전압의 변화에 따라 그 포트 전류에도 약간의 변화가 있다. 전류원과 저항의 병렬연결은 이러한 안정전원의 모형에 자주 사용된다. 여기서 I_s는 안정전원이 부하 없이(내보내는 전압이0 즉 단락회로)작동 할때 내보내는 전류를 말하며, G_iU는 부하 전압에 의한 출력되는 전류의 저하를 나타내고 G_i를 내부 전도율 이라고 한다. 전압원과 저항의 직렬연결과 전류원과 저항의 병렬연결이 서로 등가임에 따라서 실제 전원은 이러한 같은 두 종류의 회로모형을 모두 사용한다. 

  앞에서 전압원의 내부 저항 R_i=0 이고 전류원의 내부 전도율 G_i=0 즉 내부 저항은 무한대와 같다는 이상전원에대해 소개했다. 0은 역수를 가질 수 없으므로, 이상 전압원과 이상전류원은 서로 등가변환이 불가한 상호 독립적인 두 종류의 전원 모형이다.

  위에서 전압원과 저항의 직렬연결, 전류원과 저항의 병령연결의 등가회로에 대해 다루었는데 자연적으로 전압원과 저항이 병렬연결된 전기회로와 전류원과 저항이 직렬연결된 전기회로에 대해 생각해 볼 수있다.

  그림 2의 (a)는 전압원Us와 저항 R을 병령연결한 한 단구의 전기회로로 그 포트 전압 U=Us이며 전류 I는 불확정하여 외부 전로에 따라 결정된다, 이는 전압원의 포트 특성으로 이 포트가 외부에 하는 작용은 전압원 Us로 등가하여 대체하여 그림 2의 (b)와 같이 쓸 수 있다.
  같은 방식으로 알 수 있듯이 그림3의 (a)는 전류원 Is와 저항 R을 직렬 연결 한 포트로, 이 포트가 외부에 하는 작용은 전류원 Is로 등가하여 그림 3의 (b)와 같이 쓸 수 있다. 이때, 그림 2의 (a)와(b)에서 전압원이 출력하는 전류와 일률은 같지 않다, 이는 "등가"는 오직 외부 (변환 되는 부분을 포함하지 않는)전기회로에 대해서 라고 말 할 수있다. 그림 3의 (a)와 (b)또한 같은 상황이다.

  전원의 연결 관계에는 이 외에도 여러 형식이 있다, 예로 두개의 전압원의 직렬연결, 두개의 전류원의 병렬연결, 전압원과 전류원의 직렬 혹은 병렬연결, 두개의 같은 접압원의 병렬 연결, 두개의 같은 전류원의 직렬 연결 등이 있다. 전압원과 전류원의 특성에 따라서 상술된 연결 관계의 등가 전로를 어렵지 않게 구할 수 있다. 

  종속전압원과 저항의 직렬연결 과 종속 전류원과 저항의 병렬연결 또한 아래 그림과 같이 등가변환이 가능하다. 그중 변환 방법은 독립전원을 포함하고 있는 상황과 같다. 단 변환 과정 중에서 반드시 제어량의 위치가 변하지 않음을 주의해야 한다.

[예제 1] 아래 그림에서 등가저항 Ri를 구하여라.

[풀이] 우선 노드①,②,③사이의 대칭 Δ형 연결된 저항을 등가변환 하여 아래 그림과 같이 Y형 연결로 바꾼다.

위 식에 따라서 Y형 연결된 저항은 2Ω인것을 구하고 직렬 병렬 관계에 따른 등가저항을 구하면 다음과 같다

  본 예제에는 다른 Y형 혹은 Δ형 연결이 존재한다, 그에대한 변환을 하여 같은식으로 등가저항을 얻을수 있다, 그러나 변환의 쉽고 어려운 정도는 각각 다르기에 직접 분석하여 간단한 방법을 찾아보도록 하자.

  어느 저항과 서로 연결되어 구성된 전기회로를 저항망로(resistive network)라고 한다, 본 글에서는 저항망로의 등가저항을 구하는 방법에 대해 다루도록한다.

  등가는 간단화된 망로와 등가망로의 대응되는 포트 특성이 같다는것을 가르킨다. 즉, 포트의 u-i 관계가 같음을 말한다. 등가는 간단화하고 회로의 해를 구하는 자주 사용되는 방법이다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 저항 Req와 망로N1이 등가일때, Req로 저항망로N1을 대체하고 그외의 부분들(즉, 그림에서의 N2)의 전압과 전류는 바뀌지 않는다. 

  가장 간단한 형태의 저항 연결방식은 직렬연결(series connection)과 병렬연결(parallel connection)이 있다

1 저항의 직렬연결
  각 저항의 앞과 뒤가 차례대로 연결되고 연결점에 분기가 없으며, 키르히호프 전류법칙에 따라서 각 저항을 흐르는 전류가 같음을 알때 이 저항은 직렬연결이 됐다고 한다. 아래의 그림에서 두 저항이 직렬연결된 모습을 보여준다.

  이 등가저항을 구하기 위해서 KVL및 옴의법칙으로 아래의 방정식을 얻을 수 있다.

(1)

따라서 등가저항은

(2)

같은 방법으로, N개의 저항을 직렬연결 하였을때의 그 등가저항은 N개 저항의 합과 같다 즉,

(3)

  저항의 직렬연결은 분전압(voltage division)에 주로 쓰이는데 이를 분압기(voltage divider)라고 부른다. 이 중 각각의 직렬 연결된 저항들은 총 전압의 일부분만 받게된다. 각 저항상에 걸리는 전압을 구하기 위해서 우선 식(1)의 전류를 구하면 다음과 같다,

(4)

다시 옴의 법칙 및 식(4)에 따라서 다음과 같이 얻을 수 있다.

(5)

  식(5)은 두 저항을 직렬로 연결했을때의 분압 공식이다. 이 유도식에 따라서 N개의 저항을 직렬연결 했을때의 분압 공식을 얻을수 있다, 

(6)

  저항을 직렬연결을 할때 흐르는 전류는 동일하다, 따라서 두 저항이 소모하는 일은 각각 다음과 같다

(7)

식(5)와 식(7)로부터 직렬연결할때 각 저항 상에 전압과 일의 분배는 모두 저항과 비례를 이룬다는 것을 알 수 있다. 즉,

(8)

  몇몇 상황에서는 저항이 아래 그림과 같이 순서대로 연결되지 않았지만 저항 R1과 R2를 통과하는 전류가 같으면 등가저항으로 대체하려 표시할 수 있다. 이런식으로 변환된 후에 전기회로중의 각 부분의 전류 및 변환하지 않은 부분의 전압은 모두 변하지 않는다. 그러나 N1 부분을 참고점으로 하여 볼때 N2 부분의 노드전압은 바뀌며 그 반대의 상황도 마찬가지이다. 따라서 이러한 변환은 엄격하게 등가변환 이라고 할 수 없다.

2 저항의 병렬연결

  각 저항을 동일한 노드 사이에 연결되고 각 저항에 걸리는 전압이 같을때 이 저항이 병렬연결 되었다고 부른다. 아래 그림은 두 저항의 병렬연결된 모습을 보여준다.

  그림(a)에 대해, KCL과 옴의 법칙으로부터 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

(9)

따라서 두 병령 저항의 등가 인덕턴스는 다음과 같다

(10)

혹은 등가 저항이 다음과같다.

(11)

  동일한 방법으로 N개 저힝이 병렬 연결 됐을때의 등가 인덕턴스와 등가 저항을 구할수 있다.

(12)

(13)

  전기저항의 병렬연결은 분전류(current division)에 자주 쓰이고, 이때 병렬연결된 전기회로를 분전류기(current divider)라고 한다. 식(9)에 따라서 병렬연결의 회로전압을 알 수 있다.

(14)

또한 옴의 법칙에 의해서 두 저항이 나눈 전류는 각각 다음과 같다

(15)

이런 유도식으로 N개 저항을 병렬연결 했을때의 다음과 같은 분전류 공식을 얻을 수 있다.

(16)

  저항을 병렬연결하면 저항에 걸리는 전압은 모두 동일하다, 식(15)에 각각 전압 U를 곱하면 두 저항이 소모하는 일을 알 수 있다

  식(15)및 위 식에 따라서 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

(17)

이 식은 병렬연결을 할때 저항상의 전류와 일의 분배는 인덕턴스와 정비례함을 가르킨다.

3 저항의 성형과 삼각형 연결

  저항의 성형 연결, 간단히 Y형 연결 혹은 T형 연결이라 부른다, 아래 그림 (a) 와 (b)가 이를 가르킨다. 삼각형 연결은 간단히 Δ형 연결 혹은 Π형 연결이라 부른다, 아래서 그림 (c)와 (d)가 이를 가르킨다. 정해진 조건 아래서 Y형 연결과 Δ형 연결은 망로 등가 간단화를 통해 서로 등가변환이 가능하다.

예로 R2, R4, R5로 구성된 삼각형 연결을 성형 연결로 등가변환하는것은 아래 그림(a)이 보여준다, 혹은R1, R2, R5로 구성된 성형 연결을 삼각형 연결로 등가변환하는것은 아래 그림(c)가 보여주며, 직렬 연결 등가 규칙으로 등가저항을 계산할 수 있다.

  성형과 삼각형 연결된 망로는 아래의 그림처럼 3단 망로에 속한다. 세개의 단자 사이에는 전압과 세개의 단자의 전류이 있다. KCL과 KVL에 따라서 두 종류의 연결 방식에 관계없이 내부구조가 어떠하든 반드시과 임이 성립한다. 따라서, 삼단망로가 외부에 하는 작용은 두 단자간의 전압(예로 u12와 u23)과 두개의 단자전류(예로i1과 i2)의 관계료 표시할 수 있다. 등가의 개념에 따라 알 수 있듯이 Y형과 Δ형 연결을 등가변환 할떄, Y형 연결과 Δ연결의 대응하는 포트는 반드시 동일한 포트 특성을 가져야한다, 이에 따라 등가조건을 유도해낼 수 있다.

그림 (a)로부터 알 수 있듯이, Y형 연결 전기회로의 포트특성 방정식은 다음과 같다

(18)

그림 (b)로부터 알 수 있듯이, Δ형 연결 전기회로에 대해, KVL과 KCL에 따라서 다음과 같은 식이 있다

(19)

(20)

식(20)를 식(19)에 대입하면 각각 아래와 같이 i12와 i1, i2및 i23과 i2, i3의 관계로 정리할 수 있다

(21)

이에 따라, 식(18)에 상응하는 Δ형 연결 전기회로의 포트 특성 방정식을 얻을 수 있다.

(22)

등가의 개념에 따라, 식(18)과 식(22)에 대응하는 계수는 반드시 같다. 이에 따라 Δ형연결에서 Y형 연결로의 등가변환 공식을 얻을 수 있다.

(23)

이를 다음과 같이 종합할 수 있다.

  유사하게 Y형 연결을 Δ형 연결로 바뀔때의 등가 조건또한 유도해낼수 있다, 혹은 식(23)을 직접 풀어서 Y형연결에서 Δ형 연결로의 등가 변환 공식을 얻을 수 있다.

(24)

이를 다음과 같이 종합할 수 있다.

  이를 보통 대칭(symmetrical)상황 이라고한다 즉, 세개의 같은 저항을 Y형 혹은 Δ형 으로 연결했을때 등가변환은

위와 같은 상황이라고 하면, 변환공식(24)에 따라서 다음을 얻을 수 있다.

(25)

반대되는 변환공식(23)에 따라 다음식 또한 얻을 수 있다.

(26)

여기까지 알아본것들은 대칭되는 Y형 연결의 등가 Δ형 연결 또한 대칭이라는 것이고 그 반대의 상황또한 그렇다는 것을 보여준다.

[예제 1] 회로가 다음 그림과 같을때, 이미 알고 있는 지로 전류로 나머지 지로 전류의 값을 구하여라.

[풀이] 회로도의 각 노드의 KCL방정식을 모두 쓴다.

이 문제에서는 전류의 값만 구하여 닫힌구역 S에 대한 KCL방정식을 쓰면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. 

[예제 2] 회로가 다음 그림과 같고 몇 부분의 지로 전압을 알 때, 그 외의 지로 전압을 구하여라.

[풀이] 회로중의 6V전압은 가상의 지로 전압으로 볼 수 있다, 해당 지로는 차단된 생태로 KVL방정식에서 가상지로를 포함하는 루프 즉, 가상루프 또한 사용 할 수있다. 아래에 각각 구해야 하는 전압을 포함하는 회로(가상루프 포함)에 대해 KVL방정식을 쓰고, 구해야 하는 전압을 등호 왼쪽에 쓴다.

  키르히호프법칙과 집중회로 부품의 성질은 무관하다. 키르히호프 전류법칙은 노드와 연결된 지로전류와의 법칙이며, 키르히호프 전압 법칙은 루프중의 보함되는 모든 지로전압의 법칙이다. 따라서 키르히호프 법칙은 회로구조법칙으로도 불리며 이는 전기회로의 방정식을 세우는데에 중요한 요소이다.

[예제 3] 회로가 다음과 같을때 두 종속전원이 각자 내보내는 일을 구하여라.

[풀이] 노드②에 대한 KCL방정식을 쓰면 다음을 얻을 수 있다

저항에 걸리는 전압은 

외부 메쉬의 KVL 방정식으로 종속전류원의 포트전압을 구하면

종속전류원과 종속전압원이 내보내는 일은 각각 다음과 같다

  전기회로부품을 서로 연결하여 전기회로를 만들고, 전류와 전압을 생성하고 각종 기능들을 수행할 수 있다. 여기서 전압과 전류의 양값은 회로의 구조와 소자의 규격에 맞아야한다. 

  1847년 독일의 물리학자 키르히호프[Gustav Robert Kirchhogg(1825-1887)]이 회로 구조에서 전류와 전압의 관계에 대한 관계를 세웠는데 이를 키르히호프 전류 법칙과 키르히호프 전압 법칙으로 부르고 통칭 키르히호프 법칙이라고 한다. 키르히호프 법칙에 대해 다루고 응용하기 위해서 우선 회로구조에서 쓰이는 술어들을 먼저 다루어 보도록 하자.

1 회로구조

  전기회로 소자는 단자를 통해 서로 연결되고 특정한 구조를 가진 회로를 형성하게된다. 아래 그림은 한 예시. 회로의 구조는 지로, 노드, 루프, 메쉬 등의 술어를 사용하여 묘사한다.

 간편하게 볼 수 있기위해 본 블로그에서는 모든 두 단의 소자를 한 지로(branch)라고 부른다, 지로의 연결점을 노드(node) 라고 하고, 그 중 두 지로의 연결점을 간단한 노드라고 한다. 위 그림에는 총 7개의 지로와 5개의 노드가 있고 여기서 노드④가 바로 간단한 노드이다.

  노드 a와 노드 b사이에는 m개의 서로 다른 지로와 m-1개의 서로 다른 노드가 존재한다(a와 b는 포함안됨), 이를 차례차례 연결하여 하나의 통로를 만들면 이를 a에서 b까지의 경로(path)라고 하고 노드 a와 b를 각각 시작노드와 종단노드로 부른다. 경로는 지로의 집합 혹은 노드의 집합으로 표시할 수 있는데 위의 그림을 예로 들자면, 지로 집합{2,6} 혹은 노드집합{①,②,③}으로 시작노드①에서 종단노드③간의 경로를 표시할 수 있다. 보통 두개의 노드 사이에는 여러 지로가 존재한다, 예로 지로집합{3,4}혹은 노드집합{①,④,③}또한 노드①에서 노드③간의 경로를 표시한다.

  닫힌 경로를 루프(loop)라고 부른다. 위의 그림에서 보자면 지로집합{1,2,5}, {6,5,7}, {2,3,4,6}, {1,2,6,7}이 모두 루프의 예시이다. 루프는 시계방향과 반시계방향 두 방향이 있으며, 집합 중의 원소의 순서 혹은 화살표로서 루프의 방향을 표시한다.

  평면상에 전기회로를 그릴때 만약, 노드를 제외하고 지로가 모두 서로 교차하지 않을때의 회로를 평면회로(planar circuit)이라하고 아니라면 비평면회로(nonplanar circuit)라고 부른다.

  평면회로의 단루프(즉, 내부 혹은 외부에 지로를 포함하지 않는다)를 메쉬(mesh)라고 부르고, 이는 가장 간단한 루프이다. 내부에 어떠한 지로도 존재하지 않는 메쉬를 내부 메쉬라고 하고 외부에 어떠한 지로도 존재하지 않는것을 외부 메쉬라고 한다. 만약 특별한 설명이 없다면 메쉬는 내부 메쉬를 가르킨다. 위의 그림에서 볼 때 지로집합 {1,2,5}, {5,6,7}, {2,3,4,6}이 내부 메쉬를 가르키며 {1,3,4,7}이 외부메쉬를 가르킨다. 여기서 {1,2,6,7}은 내부에 지로5를 포함하고 있으므로 메쉬가 아니다.

  한 지로에서, 전류가 어떠한 유한값이던지 전압이 항상 0이면 이때 회로를 닫힌회로(short circuit)라고 하고, 동일하게 전압이 어떠한 유한값이던지 전류가 항상 0이면 이때의 회로를 열린회로 혹은 끊긴회로(open circuit)라고 부른다.

2 키르히호프 전류 법칙
  키르히호프 전류 법칙(Kirchhoff's Curret Law, 간단히 KCL)은 다음을 말한다: 임의의 시각에 파라미터 전기회로에서 임의의 노드의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류의 대수합은 0이다. 즉,

(1)

식(1)를 볼 때, 보통 ik의 참고방향이 노드로 흘러나오는 방향일때 ik의 앞에 "+" 부호를 붙여주고, 흘러들어가는 방향일때는 "-" 부호를 붙여준다.

  위 식을 노드의 KCL방정식 이라고 하고, 이는 임의의 노드와 연결된 모든 지로의 전류가 모두 만족하는 관계를 반영한다. 위의 그림을 예시로 하여 각 노드에서의 KCL방정식을 구하면 아래와 같다

  KCL방정식은 닫힌구역의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류에 대해서도 쓸 수 있다. 이는 임의의 시각에 파라미터 전기회로에서 임의의 닫힌구역 S의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류의 대수합은 0임을 나타낸다. 즉,

(2)

식(2)를 넓은 의미의 키르히호프 전류 법칙이라한다.

  위 법칙을 검증하기위해 예시로 쓴 그림의 노드②와 노드③의 KCL방정식을 서로 더하면 아래와 같다

위 식의 좌변의 곧 닫힌구역 S에 들어오고 나간 모든 전류의 대수합이다.

  위 노드②식에 대해서 노드에서 나가는 전류를 한변에 쓰고, 노드에 들어오는 전류를 다른 한 변에 쓰면 다음과 같다

이는 임의시각에 어느 한 노드(혹은 닫힌구역)에서 흘러나간 전류의 대수합은 그 노드에 흘러들어온 대수합과 같음을 의미한다. 즉,

(3)

  회로의 모든 노드와 모든 닫힌구역에 대해서 KCL방정식을 쓸 수 있다. 그러나 이 방정식들은 결코 독립된것이 아니다. 예로 위의 그림에서의 KCL방정식 중에서 노드①의 KCL식과 노드④의 KCL식을 더한것의 음수는 곧 노드⑤의 KCL식이다. 회로중 임의의 노드의 KCL방정식은 나머지 네개의 노드의 KCL식들의 합과 같다.

 임의의 닫힌구간의 KCL방정식은 닫힌구간 안에 있는 모든 노드의 KCL방정식의 대수합과 같다. 그러나 만약 임의의 한 노드의 KCL방정식을 생략하면 이때 나머진 4개 노드의 KCL방정식은 하나의 독립된 방정식들이 된다. 일반적인 상황으로 발하자면 n개의 노드가 포함된 회로중에 임의로 고른 n-1개 노드의 KCL방정식이 한 독립 방정식들이다이다, 이 노드들을 독립 노드라 한다. n-1개의 어느 독립 노드를 선택할지는 마음대로 해도 된다.

3 키르히호프 전압 법칙

  키르히호프 전압 법칙(Kirchhoff's  Voltage Law, 간단히 KVL)이 말하는 바는 다음과 같다: 파라미터 회로중에서 임의의 시각에 임의의 루프의 각 지로들의 전압의 대수합은 0이다. 즉,

(4)

통상적으로 식(4) 중의 uk의 참고방향이 루프의 방향과 동일하다고 규정할때, uk의 앞에 "+"부호를 붙여주고 만약 아니라면 "-"부호를 붙여준다.

  식(4)를 루프의 KVL방정식이라고 칭하는데, 이는 임의의 루프가 포함하고 있는 모든 지로의 전압이 필수로 만족해야하는 약속이다. 아래의 회로를 예로 키로히호프 전압 법칙을 쓰면 다음과 같다

회로 l3의 식을 다음과 같이 바꾸면

이러한 상황으로 볼 수 있듯이, 임의의 루프를 따르는 각 지로 전압감소의 대수합은 각 지로 전압증가의 대수합과 같다. 즉,

(5)

  다시 l1과 l3식을 다음과 같이 쓴다면

이는 파라미터 회로중에서 어느 두 점 간의 전압은 확정된 값을 값고 그의 계산은 경로와 무관하다는 것을 설명해준다.

  회로중의 모든 메쉬 혹은 루프에 대해서 KVL방정식을 쓸 수 있으나 KVL방정식은 독립된 식이 아니다. 예로, 위의 그림중에서 루프{①,②,③,⑤,①}의 KVL방정식은이다, 이 방정식은 실제로는 루프 l1과l2 의 KVL방정식을 더한 결과와 같다. 이때 루프{①,②,③,⑤,①}을 루프 l1과l2 에 대하여 비독립이라고 한다.

  임의 루프의 KVL방정식은 그 루프를 구성하는 각 메쉬의 KVL 방정식의 대수합과 같음으로 설명할 수 있다. 그러나 모든 메쉬의 KVL방정식은 나머지 메쉬의 KVL방정식의 대수합 혹은 그의 선형조합으로 표시할 수 없다. 평면회로 메쉬의 KVL방정식은 독립된 방정식들 이라는 것을 볼 수 있다. 회로에 b개의 지로, n개의 노드가 있다고 하면, 평면회로의 메쉬 수는 즉, 독립KVL방정식의 개수는 b-(n-1)과 같음을 증명 할 수 있다.

  당연히 메쉬의 KVL방정식을 구하는것은 독립 KVL방정식을 얻을 충분조건이며 필요조건이 아니다. 예로 루프l1부터 루프l3까지의 식은 독립된 KVL방정식 들이며, 이중에는 두개의 메쉬와 한개의 메쉬가 아니를 루프를 포함하고 있다. 그러나 어떠한 루프를 선택하던지 독립KVL방정식의 개수는 같아야한다.

  독립전원 이외에 전기회로 모형에서는 또 다른 종류의 전원이 사용되며, 그 원전압이나 원전류는 회로 내 다른 곳의 전압이나 전류에 의해 제어된다. 이러한 전원을 종속전원(controlled source) 혹은 비독립전원(dependent source) 라고 한다.

  제어전원은 일종의 한 지로와 다른 지로간에 존재하는 결합(coupling)관계를 표시하는 회로 모형이다. 여기서는 오직 선형제어전원 즉, 원전압(전류)와 제어전압(전류)가 형성하는 비례관계이다. 제어량이 전압 혹은 전류일 수 있으므로, 제어되는 양 또한 전압 혹은 전류가 될 수 있다. 따라서 모두 네종류의 제어전원이 있다. 이들의 명칭과 부호는 아래 그림에서처럼 마름모를 사용하여 독립전원과 구분하여 볼 수 있도록한다.

(a) 전압제어 전압원      (b) 전류제어 전압원
(c) 전압제어 전류원      (d) 전류제어 전류원

종속전원의 단자 방정식은 다음과 같다:

  위 식에서 아래첨자를 s로 가지고 있는 변량은 전원을 나타내고, c를 아래첨자로 가지는 변량은 제어량을 나타낸다. 매개변수 는 모두 상수이며 각각 다른 값을 가진다.

  종속전원은 두개의 포트를 가지는 2단 소자에 속한다. 제어량이나 개방 회로 전압, 단락 전류 때문에 회로도에 별도의 제어 포트를 그릴 필요가 없고, 제어 소스의 마름모꼴 기호 옆에 제어 관계를 표시하면서 제어량을 회로에 명시하면 된다.

  끊임없이 작동을 하는 실제 전기회로에는 언제나 전원으로 에너지를 공급해주어야 한다. 전원은 전압원(voltage source)와 전류원(current source)두 종류가 있다. 이들은 이상적인 전기소자이며 실제 전원의 회로 모형에대해서는 다음번에 또 소개하도록 한다.

1 전압원

  전압원의 전류가 일정한 범위 내에 있을때 전압원이 제공하는 전압은 전류의 크기와 관계없이 항상 상수량(예로 직류전원)이거나 시간에 따라 정하진 규칙을 갖고 변화한다(예로 사인교류전원). 아래 그임은 전지와 안정전원을 보여준다.

출처는 위키백과

  전지의 전압은 조정이 불가능하다. 안정전원은 일종의 전원변화기로서 보통 일반적인 사인교류전기를 직류 혹은 교류전기로 변환하여주고 그 전압은 조정이 가능하다.

  전기회로 모형에서 전압원 소자를 사용함으로서 전지와 안정전원의 전자기 특성을 표시 할 수 있다. 자주 사용되는 전압원 부호는 아래 그림과 같다. 

여기서 (a)는 직류전압원을 가르키고 (b)는 출력 조종이 가능한 전압원을 가르키고 (c)는 교류전압원을 표시하고 (d)는 임의의 규칙에 따라 변화하는 전압원을 가르킨다. 그림(c)와 (d)중의 "+", "-" 부호는 전압의 참고방향을 보여준다. 

  전압이 제공해줄 수 있는 확정된 전원 전압를 원전압(source voltage)라고 한다. 여기서 "확정된"이라는 것은 원전압 와 전압원에 흘러 들어오는 전류가 무관함을 말하고, 전압원의 전류는 그와 연결되어 있는 회로에 따라 확정될 것이다. 는 상수일 수 있고, 이를 직류전압원(혹은 정전압원)이라 부르고 라고 쓴다. 또한 시간에 따라 변하는 양일수도 있고 이를 라고 쓴다. 전압원 의 방향은 "+"극에서 "-"극으로 향한다.

  전압원의 포트 특성은 다음과 같이 해석하여 표시할 수 있다.

(1)

식(1)에는 전류i 가 포함되지 않는다, 이는 원전압은 전압원에 들어오는 전류에 제약을 받지 않는다는것을 보여준다.

  원전압이 상수량 일때 포트 전압과 전류간의 관계는 아래의 그래프와 같다. 이 그래프가 보여주는 전류좌표축과 평행한 직선을 전원의 포트특성곡선 이라고 부른다. 원전압=0일때 즉, 전압원을 0으로 둘때, 전압원은 닫힌회로와 같이 작용한다.

  위의 회로 모형과 같은 그림에서 볼 수 있는 참고방향에서 전압과 전류가 형성하는 일은 다음과 같다

(2)

여기서 와 i 가 비관련참고방향을 가지기 때문에 전원 내부 전류는 저전위에서 고전위를 향해 흐른다, 따라서 식(2)는 전원이 일을 내보내는것을 표시한다. 그 결과값이 양수일때(대응하는 특성 곡선이 1, 3 사분면에 위치할때)는 전압원이 전원공급 상태임을 나타내고, 아니라면 전압원이 전원충전 상태(대응하는 특선 곡선이 2, 4 사분면에 위치할때)임을 나타낸다, 사실상 일을 받아들이는것으로, 이러한 상황에서 전압원은 부하가 되어 에너지를 소모한다.

2 전류원 

출처는 전자공정세계

  측량 및 제어기술에서는 정확한 전류를 공급해줄 수 있는 안정전류원이 자주 쓰인다. 만약 전류가 시간에 따라 변하지 않는다면 이를 정전류원 이라고 부른다. 위의 그림이 곧 실험실에서 사용되는 정전류원의 예시이다. 안정전원은 보통 전자소자로 이루어지며, 사용시 교류전원으로 전기를 공급한다. 그 외의 광전지는 일정한 조건 아래서 정해진 값의 전류를 공급해주는 특성을 가진다.

  회로모형중에서 전류원으로 안전전류원의 전자기특성을 표시해주는데 그 부호는 아래와 같다

  전류원은 확정된 전류 를 제공해 줄 수 있고, 이를 원전류(source current)라고 한다. 여기서 "확정된" 이라는것은가 전류원 포트의 전압과 무관하다는것을 가르킨다. 전류원 포트의 전압은 나머지 연결된 회로에 의해서 결정된다. 는 상수값 즉 정전류 일 수 있는데 이를 라고 쓰며 시간에따라 변하는 양일때는라고 쓴다.

  전류원의 포트 특성을 아래와 같은 식으로 쓸 수 있다

(3)

  식(3)은 전압u를 포함하지 않으며 전류원 포트가 전압의 제약을 받지 않는다는것을 표시한다. 만약 원전류가 상수값일때 식(3)은 u-i 평면상에서 전압좌표축과 평행한 직선과 대응된다. =0일때 즉, 전류원을 0으로 두었을때 전류원은 열린회로와 같이 작용한다.

  위 그림에서 보여지는 참고방향에서 전류원이 내보내는 일은 다음과 같다

(4)

  특성곡선이 1, 3사분면에 위치할때, 위 식의 p > 0이고 전류원이 전원공급 상태임을 나타내며, 특성곡선이 2, 4사분면에 위치하면 위 식의 p < 0이고 전류원이 전원충전 상태임을 나타낸다

  전압원과 전류원이 소자 모형으로서 작용할때 외부에 무한이 전기에너지를 공급해줄수 있으며 유원소자에 속한다. 실제 상황에서는 전원 내부에는 반드시 전기에너지이 아닌 형식의 에너지를 전기에너지로 바꾸어주는 매커니즘이 존재한다. 예를들어 화학전지는 화학에너지를 전기에너지로 전환하여 외부에 전기를 공급해준다. 어느 화학전지는 전기에너지를 화학에너지러 전환 즉, 충전을 할 수 있다. 이때 전류는 전지의 고전위단에서 저전위단으로 흐르게된다. 충전상태의 전지는 전기에너지를 받아들이는 부하라고 볼 수 있다.

  회로중의 각 전압, 전류의 인과간계를 보자면 전압원이 제공하는 모든 전압과 전류원이 제공하는 모든 전류는 각 전압, 전류를 유지하는 원인으로서 존재하고 이를, 자극(excitation)이라 하고, 자극에 의해 야기되는 전압과 전류를[자극에 대한] 응답(response)이라고 한다. 전압원의 전압과 전류원의 전류가 회로 내의 다른 전압 및 전류와 무관하기에 이를 독립전원(independent source) 라고 부른다. 

[예제 1] 0.1H의 유도자에 아래의 그래프와 같은 전류가 통과한다.

시간 t > 0 일때 유도자에 걸리는 전압과 유도자가 받는 일 및 에너지 저장의 변화 규칙을 구하여라.

[풀이] 전류의 변화 규칙에 따라서 아래와 같이 나누어 계산한다

(1) 0 < t < 2s 일때

(2) 2s < t < 4s 일때

(3) 4s < t < 6s 일때

(4) t > 6s 일때 유도자에 들어가는 전류가 없으므로 전압, 일 및 에너지 모두 0이다. 각 시간의 전압, 일 및 에너지의 변화 규칙은 아래 그림과 같다

전압의 변화 그래프

일의 변화 그래프

저장된 에너지 변화 그래프

  본 문제에서 볼 수 있듯이 전압은 전류의 변화율과 비례한다. 따라서 2s < t < 4s 일때 전류가 최대이고 전압이 0이다.

4 유도자

  유도자코일(coil)은 전자기기, 변압기, 전력계통, 전자및 통신시스템 등에서 매우 광범위하게 응용된다. 실제로 쓰이는 기초적인 유도자 코일은 아래의 그림과 같다.

출처는 Gadgetronicx

 비록 실제 쓰이는 유도자들의 형태들은 제각각이지만 그 공통적인 성질은 모두 코일에 전류i 가 통과할때 그 주위에 자기장(magnetic field)를 발생시킨다. 게다가, 코일 내부에 전류와 교차하는 자기 선속(flux)Φ 를형성한다. 자기장과 자기 선속의 방향은 아래의 그림과 같은오른나사법칙을 따른다.

  감긴 코일마다 서로 연결되는 자기선속의 합을 이 코일의 자속 쇄교(magnetic linkage)라고 하고 Ψ 라고 쓴다. 유도자코일은 보통 저항을 가지고있는데, 회로모형에서는 유도자[소자](inductor)와 저항을 직렬연결하여 유도자코일을 표현하고 유도자소자는 곧 유도자코일의 주요한 전자기특성을 표시한다. 유도자소자의 특성은 전류와 자기선속간의 관계를 통해 드러나는데 그 회로 부호는 아래의 그림과 같다, (a)는 고정유도자를 표시하고 (b)는 가변유도자를 표시해준다.

  만약 코일의 자기장이 선형매개체( 즉, 자기전도율과 자기유도강도와 무관한 매개체)중에 존재할때 자기선속와 전류는 비례하고 이를 선형 유도자 라고 부른고 만약 비례하지 않는다면 비선형 유도자이다.

  선형유도자의 자기선속과 전류의 참고방향이 오른나사법칙에 부합할때 두 변수의 관계는 아래의 식과 같다

    (1)

위 식에서 L 은 유도계수(inductance)를 나타낸다. 자기 선속의 단위는 웨버(Weber, 부호 Wb)이고, 전류의 단위가 암페어 일때, 유도계수의 SI단위는 Wb/A이고 이를 헨리(Henry, 부호 H)라고 부른다.

  유도자의 특성은 그래프를 통해서도 표현할 수 있는데 식(1)에 대응하는 자기선속-전류관계 그래프는 아래 그림과 같이 Ψ-i 편면의 원점을 지나는 직선으로 1, 3 사분면에 위치한다.

전자기 감응 법칙에 따라서 자기 선속이 시간에 따라 변화하면 유도자에서 감응기전력이 생성되어야 한다, 이를 e 라고 쓴다. 전압u , 기전력 e 와 전류 i 가 관련참고방향을 가지며 전류와 자기선속의 참고방향이 오른나사 법칙을 따를때, 렌츠의 법칙및 전압과 기전력의 관계에 따라 아래와 같은 식이 있다 

    (2)

선형유도자에 대해서 식(1)을 위 식에 대입하면,

 (3)

즉 선형유도자의 단락 전압과 단락 전류의 시간 변화율과 비례한다. 유도자중에 직류전류가 들어올때, 단락전압은 0이고 이는 끊긴회로와 같이 볼 수 있다.

  만약 전압으로부터 자기력 선속 혹은 전류를 구한다면 아래와 같은 적분이 필요하다

    (4)

    (5)

위 두 식은 유도자에서 어느 한 순간의 자기 선속과 전류는 그 전의 모든 전압에 따라서 결정되며 이때 유도자도 기억소자에 속한다. 식중의 Ψ (t0 ) 과i (t0 )은 t0 시각직전에 전압이 작용한 모든 결과를 표시한다, 이를 유도자의 초기 자기 선속과 초기전류(initial current)라고 한다.

  식(3)과 식(5)는 선형유도자의 u-i 의 관계를 나타낸다, 그 둘은 관련참고방향이고 반약 아니라면 식 중에 음수 부호를 추가해줘야한다. u-i 관계는 미분 혹은 적분의 관계에 있기때문에 유도자 또한 수동소자에 속한다.

  선형유도자가 받는 일은 아래와 같다

(6)

t 시각까지 유도자가 받는 일은 아래와 같다

(7)

t=-∞일때 유도자의 전류는 0이고 따라서 유도자가 받는 에너지는 다음과 같다

(8)

  식(8)은 유도자가 저장하는 자기장의 에너지 계산 공식이기도 하다. 유도자 전류의 절대값이 증가할때 유도자가 회로에서 받는 에너지는 자기장 안에 저장하게되고, 전류의 절대박이 감소할때는 유도자의 자기장에 저장된 에너지를 회로로 풀어준다. 따라서 유도자 또한 하나의 저장 소자이다. 이상적인 유도자는 받는 에너지를 모두 저장하며 에너지 손실이 없기에 무손실 소자이기도 하다.