[전기07] 키르히호프 법칙

  전기회로부품을 서로 연결하여 전기회로를 만들고, 전류와 전압을 생성하고 각종 기능들을 수행할 수 있다. 여기서 전압과 전류의 양값은 회로의 구조와 소자의 규격에 맞아야한다. 

  1847년 독일의 물리학자 키르히호프[Gustav Robert Kirchhogg(1825-1887)]이 회로 구조에서 전류와 전압의 관계에 대한 관계를 세웠는데 이를 키르히호프 전류 법칙과 키르히호프 전압 법칙으로 부르고 통칭 키르히호프 법칙이라고 한다. 키르히호프 법칙에 대해 다루고 응용하기 위해서 우선 회로구조에서 쓰이는 술어들을 먼저 다루어 보도록 하자.

1 회로구조

  전기회로 소자는 단자를 통해 서로 연결되고 특정한 구조를 가진 회로를 형성하게된다. 아래 그림은 한 예시. 회로의 구조는 지로, 노드, 루프, 메쉬 등의 술어를 사용하여 묘사한다.

 간편하게 볼 수 있기위해 본 블로그에서는 모든 두 단의 소자를 한 지로(branch)라고 부른다, 지로의 연결점을 노드(node) 라고 하고, 그 중 두 지로의 연결점을 간단한 노드라고 한다. 위 그림에는 총 7개의 지로와 5개의 노드가 있고 여기서 노드④가 바로 간단한 노드이다.

  노드 a와 노드 b사이에는 m개의 서로 다른 지로와 m-1개의 서로 다른 노드가 존재한다(a와 b는 포함안됨), 이를 차례차례 연결하여 하나의 통로를 만들면 이를 a에서 b까지의 경로(path)라고 하고 노드 a와 b를 각각 시작노드와 종단노드로 부른다. 경로는 지로의 집합 혹은 노드의 집합으로 표시할 수 있는데 위의 그림을 예로 들자면, 지로 집합{2,6} 혹은 노드집합{①,②,③}으로 시작노드①에서 종단노드③간의 경로를 표시할 수 있다. 보통 두개의 노드 사이에는 여러 지로가 존재한다, 예로 지로집합{3,4}혹은 노드집합{①,④,③}또한 노드①에서 노드③간의 경로를 표시한다.

  

  닫힌 경로를 루프(loop)라고 부른다. 위의 그림에서 보자면 지로집합{1,2,5}, {6,5,7}, {2,3,4,6}, {1,2,6,7}이 모두 루프의 예시이다. 루프는 시계방향과 반시계방향 두 방향이 있으며, 집합 중의 원소의 순서 혹은 화살표로서 루프의 방향을 표시한다.

  

  평면상에 전기회로를 그릴때 만약, 노드를 제외하고 지로가 모두 서로 교차하지 않을때의 회로를 평면회로(planar circuit)이라하고 아니라면 비평면회로(nonplanar circuit)라고 부른다.

  평면회로의 단루프(즉, 내부 혹은 외부에 지로를 포함하지 않는다)를 메쉬(mesh)라고 부르고, 이는 가장 간단한 루프이다. 내부에 어떠한 지로도 존재하지 않는 메쉬를 내부 메쉬라고 하고 외부에 어떠한 지로도 존재하지 않는것을 외부 메쉬라고 한다. 만약 특별한 설명이 없다면 메쉬는 내부 메쉬를 가르킨다. 위의 그림에서 볼 때 지로집합 {1,2,5}, {5,6,7}, {2,3,4,6}이 내부 메쉬를 가르키며 {1,3,4,7}이 외부메쉬를 가르킨다. 여기서 {1,2,6,7}은 내부에 지로5를 포함하고 있으므로 메쉬가 아니다.

  한 지로에서, 전류가 어떠한 유한값이던지 전압이 항상 0이면 이때 회로를 닫힌회로(short circuit)라고 하고, 동일하게 전압이 어떠한 유한값이던지 전류가 항상 0이면 이때의 회로를 열린회로 혹은 끊긴회로(open circuit)라고 부른다.

2 키르히호프 전류 법칙
  키르히호프 전류 법칙(Kirchhoff's Curret Law, 간단히 KCL)은 다음을 말한다: 임의의 시각에 파라미터 전기회로에서 임의의 노드의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류의 대수합은 0이다. 즉,

(1)

식(1)를 볼 때, 보통 ik의 참고방향이 노드로 흘러나오는 방향일때 ik의 앞에 "+" 부호를 붙여주고, 흘러들어가는 방향일때는 "-" 부호를 붙여준다.

  위 식을 노드의 KCL방정식 이라고 하고, 이는 임의의 노드와 연결된 모든 지로의 전류가 모두 만족하는 관계를 반영한다. 위의 그림을 예시로 하여 각 노드에서의 KCL방정식을 구하면 아래와 같다

  KCL방정식은 닫힌구역의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류에 대해서도 쓸 수 있다. 이는 임의의 시각에 파라미터 전기회로에서 임의의 닫힌구역 S의 지로에서 나온(혹은 들어간)전류의 대수합은 0임을 나타낸다. 즉,

(2)

식(2)를 넓은 의미의 키르히호프 전류 법칙이라한다.

  위 법칙을 검증하기위해 예시로 쓴 그림의 노드②와 노드③의 KCL방정식을 서로 더하면 아래와 같다

위 식의 좌변의 곧 닫힌구역 S에 들어오고 나간 모든 전류의 대수합이다.

  위 노드②식에 대해서 노드에서 나가는 전류를 한변에 쓰고, 노드에 들어오는 전류를 다른 한 변에 쓰면 다음과 같다

이는 임의시각에 어느 한 노드(혹은 닫힌구역)에서 흘러나간 전류의 대수합은 그 노드에 흘러들어온 대수합과 같음을 의미한다. 즉,

(3)

  회로의 모든 노드와 모든 닫힌구역에 대해서 KCL방정식을 쓸 수 있다. 그러나 이 방정식들은 결코 독립된것이 아니다. 예로 위의 그림에서의 KCL방정식 중에서 노드①의 KCL식과 노드④의 KCL식을 더한것의 음수는 곧 노드⑤의 KCL식이다. 회로중 임의의 노드의 KCL방정식은 나머지 네개의 노드의 KCL식들의 합과 같다.

 임의의 닫힌구간의 KCL방정식은 닫힌구간 안에 있는 모든 노드의 KCL방정식의 대수합과 같다. 그러나 만약 임의의 한 노드의 KCL방정식을 생략하면 이때 나머진 4개 노드의 KCL방정식은 하나의 독립된 방정식들이 된다. 일반적인 상황으로 발하자면 n개의 노드가 포함된 회로중에 임의로 고른 n-1개 노드의 KCL방정식이 한 독립 방정식들이다이다, 이 노드들을 독립 노드라 한다. n-1개의 어느 독립 노드를 선택할지는 마음대로 해도 된다.

3 키르히호프 전압 법칙

  키르히호프 전압 법칙(Kirchhoff's  Voltage Law, 간단히 KVL)이 말하는 바는 다음과 같다: 파라미터 회로중에서 임의의 시각에 임의의 루프의 각 지로들의 전압의 대수합은 0이다. 즉,

(4)

통상적으로 식(4) 중의 uk의 참고방향이 루프의 방향과 동일하다고 규정할때, uk의 앞에 "+"부호를 붙여주고 만약 아니라면 "-"부호를 붙여준다.

  식(4)를 루프의 KVL방정식이라고 칭하는데, 이는 임의의 루프가 포함하고 있는 모든 지로의 전압이 필수로 만족해야하는 약속이다. 아래의 회로를 예로 키로히호프 전압 법칙을 쓰면 다음과 같다

회로 l3의 식을 다음과 같이 바꾸면

이러한 상황으로 볼 수 있듯이, 임의의 루프를 따르는 각 지로 전압감소의 대수합은 각 지로 전압증가의 대수합과 같다. 즉,

(5)

  다시 l1과 l3식을 다음과 같이 쓴다면

이는 파라미터 회로중에서 어느 두 점 간의 전압은 확정된 값을 값고 그의 계산은 경로와 무관하다는 것을 설명해준다.

  회로중의 모든 메쉬 혹은 루프에 대해서 KVL방정식을 쓸 수 있으나 KVL방정식은 독립된 식이 아니다. 예로, 위의 그림중에서 루프{①,②,③,⑤,①}의 KVL방정식은이다, 이 방정식은 실제로는 루프 l1과l2 의 KVL방정식을 더한 결과와 같다. 이때 루프{①,②,③,⑤,①}을 루프 l1과l2 에 대하여 비독립이라고 한다.

  임의 루프의 KVL방정식은 그 루프를 구성하는 각 메쉬의 KVL 방정식의 대수합과 같음으로 설명할 수 있다. 그러나 모든 메쉬의 KVL방정식은 나머지 메쉬의 KVL방정식의 대수합 혹은 그의 선형조합으로 표시할 수 없다. 평면회로 메쉬의 KVL방정식은 독립된 방정식들 이라는 것을 볼 수 있다. 회로에 b개의 지로, n개의 노드가 있다고 하면, 평면회로의 메쉬 수는 즉, 독립KVL방정식의 개수는 b-(n-1)과 같음을 증명 할 수 있다.

  당연히 메쉬의 KVL방정식을 구하는것은 독립 KVL방정식을 얻을 충분조건이며 필요조건이 아니다. 예로 루프l1부터 루프l3까지의 식은 독립된 KVL방정식 들이며, 이중에는 두개의 메쉬와 한개의 메쉬가 아니를 루프를 포함하고 있다. 그러나 어떠한 루프를 선택하던지 독립KVL방정식의 개수는 같아야한다.