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  어느 저항과 서로 연결되어 구성된 전기회로를 저항망로(resistive network)라고 한다, 본 글에서는 저항망로의 등가저항을 구하는 방법에 대해 다루도록한다.

  등가는 간단화된 망로와 등가망로의 대응되는 포트 특성이 같다는것을 가르킨다. 즉, 포트의 u-i 관계가 같음을 말한다. 등가는 간단화하고 회로의 해를 구하는 자주 사용되는 방법이다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 저항 Req와 망로N1이 등가일때, Req로 저항망로N1을 대체하고 그외의 부분들(즉, 그림에서의 N2)의 전압과 전류는 바뀌지 않는다. 

  가장 간단한 형태의 저항 연결방식은 직렬연결(series connection)과 병렬연결(parallel connection)이 있다

1 저항의 직렬연결
  각 저항의 앞과 뒤가 차례대로 연결되고 연결점에 분기가 없으며, 키르히호프 전류법칙에 따라서 각 저항을 흐르는 전류가 같음을 알때 이 저항은 직렬연결이 됐다고 한다. 아래의 그림에서 두 저항이 직렬연결된 모습을 보여준다.

  이 등가저항을 구하기 위해서 KVL및 옴의법칙으로 아래의 방정식을 얻을 수 있다.

(1)

따라서 등가저항은

(2)

같은 방법으로, N개의 저항을 직렬연결 하였을때의 그 등가저항은 N개 저항의 합과 같다 즉,

(3)

  저항의 직렬연결은 분전압(voltage division)에 주로 쓰이는데 이를 분압기(voltage divider)라고 부른다. 이 중 각각의 직렬 연결된 저항들은 총 전압의 일부분만 받게된다. 각 저항상에 걸리는 전압을 구하기 위해서 우선 식(1)의 전류를 구하면 다음과 같다,

(4)

다시 옴의 법칙 및 식(4)에 따라서 다음과 같이 얻을 수 있다.

(5)

  식(5)은 두 저항을 직렬로 연결했을때의 분압 공식이다. 이 유도식에 따라서 N개의 저항을 직렬연결 했을때의 분압 공식을 얻을수 있다, 

(6)

  저항을 직렬연결을 할때 흐르는 전류는 동일하다, 따라서 두 저항이 소모하는 일은 각각 다음과 같다

(7)

식(5)와 식(7)로부터 직렬연결할때 각 저항 상에 전압과 일의 분배는 모두 저항과 비례를 이룬다는 것을 알 수 있다. 즉,

(8)

  몇몇 상황에서는 저항이 아래 그림과 같이 순서대로 연결되지 않았지만 저항 R1과 R2를 통과하는 전류가 같으면 등가저항으로 대체하려 표시할 수 있다. 이런식으로 변환된 후에 전기회로중의 각 부분의 전류 및 변환하지 않은 부분의 전압은 모두 변하지 않는다. 그러나 N1 부분을 참고점으로 하여 볼때 N2 부분의 노드전압은 바뀌며 그 반대의 상황도 마찬가지이다. 따라서 이러한 변환은 엄격하게 등가변환 이라고 할 수 없다.

2 저항의 병렬연결

  각 저항을 동일한 노드 사이에 연결되고 각 저항에 걸리는 전압이 같을때 이 저항이 병렬연결 되었다고 부른다. 아래 그림은 두 저항의 병렬연결된 모습을 보여준다.

  그림(a)에 대해, KCL과 옴의 법칙으로부터 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

(9)

따라서 두 병령 저항의 등가 인덕턴스는 다음과 같다

(10)

혹은 등가 저항이 다음과같다.

(11)

  동일한 방법으로 N개 저힝이 병렬 연결 됐을때의 등가 인덕턴스와 등가 저항을 구할수 있다.

(12)

(13)

  전기저항의 병렬연결은 분전류(current division)에 자주 쓰이고, 이때 병렬연결된 전기회로를 분전류기(current divider)라고 한다. 식(9)에 따라서 병렬연결의 회로전압을 알 수 있다.

(14)

또한 옴의 법칙에 의해서 두 저항이 나눈 전류는 각각 다음과 같다

(15)

이런 유도식으로 N개 저항을 병렬연결 했을때의 다음과 같은 분전류 공식을 얻을 수 있다.

(16)

  저항을 병렬연결하면 저항에 걸리는 전압은 모두 동일하다, 식(15)에 각각 전압 U를 곱하면 두 저항이 소모하는 일을 알 수 있다

  식(15)및 위 식에 따라서 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

(17)

이 식은 병렬연결을 할때 저항상의 전류와 일의 분배는 인덕턴스와 정비례함을 가르킨다.

3 저항의 성형과 삼각형 연결

  저항의 성형 연결, 간단히 Y형 연결 혹은 T형 연결이라 부른다, 아래 그림 (a) 와 (b)가 이를 가르킨다. 삼각형 연결은 간단히 Δ형 연결 혹은 Π형 연결이라 부른다, 아래서 그림 (c)와 (d)가 이를 가르킨다. 정해진 조건 아래서 Y형 연결과 Δ형 연결은 망로 등가 간단화를 통해 서로 등가변환이 가능하다.

예로 R2, R4, R5로 구성된 삼각형 연결을 성형 연결로 등가변환하는것은 아래 그림(a)이 보여준다, 혹은R1, R2, R5로 구성된 성형 연결을 삼각형 연결로 등가변환하는것은 아래 그림(c)가 보여주며, 직렬 연결 등가 규칙으로 등가저항을 계산할 수 있다.

  성형과 삼각형 연결된 망로는 아래의 그림처럼 3단 망로에 속한다. 세개의 단자 사이에는 전압과 세개의 단자의 전류이 있다. KCL과 KVL에 따라서 두 종류의 연결 방식에 관계없이 내부구조가 어떠하든 반드시과 임이 성립한다. 따라서, 삼단망로가 외부에 하는 작용은 두 단자간의 전압(예로 u12와 u23)과 두개의 단자전류(예로i1과 i2)의 관계료 표시할 수 있다. 등가의 개념에 따라 알 수 있듯이 Y형과 Δ형 연결을 등가변환 할떄, Y형 연결과 Δ연결의 대응하는 포트는 반드시 동일한 포트 특성을 가져야한다, 이에 따라 등가조건을 유도해낼 수 있다.

그림 (a)로부터 알 수 있듯이, Y형 연결 전기회로의 포트특성 방정식은 다음과 같다

(18)

그림 (b)로부터 알 수 있듯이, Δ형 연결 전기회로에 대해, KVL과 KCL에 따라서 다음과 같은 식이 있다

(19)

(20)

식(20)를 식(19)에 대입하면 각각 아래와 같이 i12와 i1, i2및 i23과 i2, i3의 관계로 정리할 수 있다

(21)

이에 따라, 식(18)에 상응하는 Δ형 연결 전기회로의 포트 특성 방정식을 얻을 수 있다.

(22)

등가의 개념에 따라, 식(18)과 식(22)에 대응하는 계수는 반드시 같다. 이에 따라 Δ형연결에서 Y형 연결로의 등가변환 공식을 얻을 수 있다.

(23)

이를 다음과 같이 종합할 수 있다.

  유사하게 Y형 연결을 Δ형 연결로 바뀔때의 등가 조건또한 유도해낼수 있다, 혹은 식(23)을 직접 풀어서 Y형연결에서 Δ형 연결로의 등가 변환 공식을 얻을 수 있다.

(24)

이를 다음과 같이 종합할 수 있다.

  이를 보통 대칭(symmetrical)상황 이라고한다 즉, 세개의 같은 저항을 Y형 혹은 Δ형 으로 연결했을때 등가변환은

위와 같은 상황이라고 하면, 변환공식(24)에 따라서 다음을 얻을 수 있다.

(25)

반대되는 변환공식(23)에 따라 다음식 또한 얻을 수 있다.

(26)

여기까지 알아본것들은 대칭되는 Y형 연결의 등가 Δ형 연결 또한 대칭이라는 것이고 그 반대의 상황또한 그렇다는 것을 보여준다.