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6 축전기

출처는 GadgetsSpy

  축전기는 각종 전자설비에서 매우 광범위하게 사용된다, 예를들면 라디오의 튜닝회로, 여파기의 회로등이 있다. 축전기의 종류는 매우 많지만 그를 구성하는 원리는 아래 그림에서 보여지듯이 절연된 매개체(예로 공기, 세라믹, 전해질, 절연지, 운모 등)로 이루어진 두 금속판으로 구성된다.

  축전기의 회로 부호는 아래 그림과같이 표시한다.

여기서 (a)는 고정 축전기를 표시하며 (b)는 가변 축전기를 표시한다. 회로모형에서 축전기[소자](capacitor)를 사용하여 축전기의 주요한 전기특성을 표시한다. 즉, 전하와 전압의 관계를 다룬다.

  전원장치가 축전기 양 단을 통과하는 전압을 줄때, 양 극판 상에 각각 양, 음전하가 모이게되어 극판 사이에 전기장을 형성하고, 전기장 에너지를 저장한다. 이때 전워너장치를 이동시켜도 전하와 전기장은 지속적으로 존재할 수 있으나 무한히 존재하진않는다. 이는 축전지가 항상 에너지를 소모함을 말해준다. 만약 이를 이상화하여 소모를 무시한다면 이는 이상소자 즉, 축전기소자이다. 축전기는 전하와 전기장에너지를 저장할수 있는 에너지 저장 소자이다. 물리학에서 이미 알고 있듯이 축전기가 선형 매개체(즉, 전기 매게상수는 전기장 강도와 무관하며 예를 들어 공기, 고무, 세라믹 및 운모 등)를 충전할 때, 저장된 전하 q는 극판 사이의 전압 u와 비례한다. 

 만약 전압의 참고방향이 위의 그림과 같이 양극판에서 음극판을 지향한다고 할때, 선형 축전기의 q-u 관계식은 다음과 같다

    (1)

  식에서 C는 용량[계수](capacitance)이고, 식에서 알 수 있듯이 그 단위는 C/V(쿨롱/볼트)이다, 이를 패럿(Farad, 부호 F)이라고 부른다. 실제로 패럿은 매우 큰 단위이기때문에, 통상적으로 그보다 작은 단위인 미리패럿(mF), 마이크로패럿(μF)등을 쓴다. 실제 축전기의 용량은 전자기장 지식으로 계산하여낼수 있다. 극판상에 존재하는 전하를 q 라하고, 극판 간의 전압 u 를 구하여 두 수간의 비를 구하면 곧 용량이다. 

  위 그림의 축전기에서의 전기용량은 다음과 같다.

    (2)

식에서 A는 각 극판의 면적이고, d 는 극판 간의 거리를 가르키고, ε는 매질의 전기매개상수이다. 선형매질에 대해서 용량C는 상수이고 선형용량이라고 부른다, 아니라면 비선형용량이다.

  선형용량의 회로부호와 그의 전하-전압 관계는 위의 그림과 같다. u 의 참고방향이 양극판에서 음극판을 가리킬때, q -u 관계함수는 1, 3사분면에 위치하고 원점을 지나는 직선이다. 만약 전류가 단에 흘러들어오거나 흘러나갈때, 극판 상의 전하는 변화하게된다. 

  전류 i 의 참고방향이 위 그림처럼 양극판으로 흘러들어오는 방향이라고 하면 전류는 시간에 따른 극판 전하 변화율과 같다

    (3)

식(1)를 식(3)에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

        (4)

즉 선형용량의 포트 전류와 포트 전압의 시간에 따른 변화율은 비례한다. 포트에 직류전압을 가해줄때 포트 전류는 0이고 열린회로로 볼 수 있다. 
  돌아가서, 전하 q는 전류 i 의 시간에 대한 적분과 같다. 즉,

    (5)

식(5)는 t 시각에 축전기에 해당 시각 전부터 전류가 충전되고 방전되며 "축적"된 결과이다.  혹은 어느 시각의 전하량은 그 시각 이전의 모든 전류에 의해 결정된다고 말할 수 있다. 따라서 축전기는 기억하는 성질을 가진다고 할 수 있고, 이는 기억소자(memory element)에 속한다. 위 식의 적분의 하한을 -∞으로 하여 아주 오래전부터 계산하여, 그때 축전기상에 전하가 0이었음을 뜻한다.

  식(1)과 (5)에 따라서 다음 식을 얻을 수 있다

    (6)

식(4)및 식(6)은 선형축전기의 u-i 관계를 나타내며, 식에서 u,i 는 관련참고방향이다. 만약 아니라면 식중에 음수 부호를 추가해줘야한다.
  앞에서 서술한것과 같이 저항소자의 u-i 관계는 대수관계이다. 게다가 축전기의 u-i 관계는 미분 혹은 적분의 관계이기에 축전기는 동적소자에 속한다.

  만약 문제를 어느 시각 t0이후의 상황에 대해서 연구해보고자 한다면, t0 시각의 전압을 u(t0)으로 정하여 식(6)에 따라서 아래와 같은 t0이후의 전압과 전류의 관계식을 얻을 수 있다

  (7)

식(7)에서 볼 수 있듯이. 전압 u(t0)은 t0시각 이전의 전압에 대한 전류의 모든 영향을 표시한다. 이를 시각 t0에서의 축전기의 초기전압(initial voltage)이라고 부른다.

  선형축전기에 입력되는 일은 아래와 같다

    (8)

에너지와 일의 관계에 따라서, 식(8)로 t시각 까지의 축전기가 흡수한 총 에너지를 구할 수 있다.

t=-∞일때 축전기는 아직 충전이 안되었기에 u(-∞)=0이다. 따라서 축전기가 흡수한 총 에너지는 다음과 같다.

    (9)

  식(9)는 곧 축전기가 저장하는 전기장 에너지의 계산 공식이다. 축전기 전압의 절대값이 증가할때, 축전기가 회로에서 흡수하는 에너지는 전기장에 저장된다. 전압의 절대값이 감소할때는 축전기가 저장하고 있는 전기장에너지를 풀어서 회로에 준다, 따라서 축전기소자는 한 에너지 저장 소자(energy storage element)이다. 이상적인 축전기는 흡수하는 에너지를 모두 전기장에 저장하며, 에너지손실이 없다, 따라서 축전기는 무손실소자(lossless element)이기도 하다.